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  我在自己的讨论稿文档里,求余的时候,都会用到 mod 这个运算符。
  mod:模。意思就是求余数。
  比如说:5 mod 3=2, 100 mod 11=1
  读作:五模三余二,一百模十一余一
  这是标准的公式化写法,大家可能不太熟悉,但是知道意思了,其实也很简单。引入Mod,主要是可以用数学公式来写,而且可以把求余数的问题化简成为普通的四则运算的问题,也比较容易表达。
  在讲如何求余之前,先来普及一下余数的一些性质。
  首先就是余数的加减法:比如说100除以7余2,36除以7余1。那么100+36除以7余几呢?或者100-36除以7余几呢?很显然,只要用100除以7的余数2与36除以7的余数1进行加减就可以得到答案。通过这个例子可以很明显的看出来,余数之间是可以加减的。
  总结写成书面的公式的话,就是:(M+N) mod q=((M mod q)+(N mod q)) mod q
  然后我们再看余数的乘法:我们继续来看上面这个例子,如果要求100*36除以7的余数是多少,该怎么求呢?
  我们不妨来这样做:
  100=98+2=7*14+2,36=35+1=7*5+1;
  这时100*36=(7*14+2)(7*5+1)=7*14*7*5 + 2*7*5 + 7*14*1 + 2*1
  很明显,100*36除以7的余数就等于2*1=2
  于是我们可以得出这样的一个结论:求M*N除以q的余数,就等于M除以q的余数 乘以 N除以q的余数。
  类似的,如果是求N^m 除以q的余数呢?只要我们将N^m=N*N*N*...*N,也就是说分别地用每个N除以q的余数相乘,一共m个,得出的结果再对q求余数,即可求出结果。
  举例来说:求11^4除以9的余数。化成公式即是:11^4 mod 9=?
  11^4 mod 9 = (9+2)^4 mod 9 = 2^4 mod 9 =16 mod 9 = 7
  于是我们可以总结出这样的公式:
  M*N mod q=(M mod q)*(N mod q) mod q
  ( M^n mod q = (M mod q)^n mod q )
  那么,我们知道了这些性质之后对解题又有什么帮助呢?
  As we all know,如果一个数乘以1,还是等于原数;而1的任意次方,还是等于1。
  所以在解答这一类的问题的时候,只要我们尽量把计算中的余数凑成与1相关的乘式,结果显然会好算很多的。(或者-1,2之类的比较容易进行计算的数字都可以,因题而异。)
  举例说明:求3^11除以8的余数。题目即是:3^11 mod 8=?
  3^11 mod 8
  =3^10 * 3^1   (mod 8)
  =(3^2)^5*(3^1) (mod 8)
  =9^5 * 3     (mod 8)
  =(8+1)^5 *3   (mod 8)
  =1^5 *3     (mod 8)
  =3
  发现没有,甚至没有去计算什么尾数的规律,答案就算出来了,而且只用了加减乘除。
  那么再来看一道题目:求 (2^100)*(3^200) 除以7的余数
  先化成计算公式:
  (2^100)*(3^200)         mod 7
  =[2^(3*33 + 1)] * [3^(3*66 + 2)]   mod 7
  =[(2^3)^33 * 2] * [(3^3)^66 * 3^2] mod 7
  =(8^33 * 2) * (27^66 * 9)      mod 7
  =[(7+1)^33 * 2] * [(28-1)^66 * 9]  mod 7
  =(1^33 * 2)* [(-1)^66 * 9]      mod 7
  =2*9                mod 7
  =4
  注意:如果余数有负号,就当做负数一样计算。
  我步骤写得很详细,但其实只要是熟练了,基本上只要三四步答案一定就出来了,有没有觉得很简单呢?赶紧找一两题来练练手吧,甚至随便写几个数字来做做试试看,像我上面的例题都是临时编的。
  相信只要练习了三四道题目,以后再碰到这样的余数题,就会会心地一笑:小样,秒掉你!

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